Fourier Transform

本文是对B站UP主Dr.CAN傅里叶变换系列视频的整理。

三角函数的正交性

三角函数系：
三角函数系是一个集合：

$$\begin{align*} \lbrace 1,\sin 1x,\cos 1x,\sin 2x,\cos 2x\ldots\sin nx,\cos nx\ldots \rbrace \end{align*}$$

即

$$\begin{align*} 1, \sin nx, \cos nx \quad n = 1,2,3 \ldots \end{align*}$$

正交的概念：
正交是一种二元关系，可以先从二维或三维世界里的垂直来理解，比如两个向量 $\vec a$ 和 $\vec b$，夹角 $\phi$ 为 90 $^\circ$，内积 $\vec a\cdot\vec b = \vert\vec a\vert\vert\vec b\vert\cos \phi = 0$，所以如果两个向量正交，他们的内积等于0。把 $\vec a$ 和 $\vec b$ 在平面坐标系表达出来，比如 $\vec a(2,1)$ 和 $\vec b(-1,2)$，内积 $\vec a\cdot\vec b = 2\times(-1)+1\times2 = 0$。

如果每个向量含有三个元素，比如 $\vec a(1,2,5)$ 和 $\vec b(1,2,-1)$，内积 $\vec a\cdot\vec b = 1\times1+2\times2+5\times (-1) = 0$。

扩展一下，如果每个向量含有$n$个元素，$\vec a(a_1,a_2,\ldots a_n)$，$\vec b(b_1,b_2,\ldots b_n)$，则

$$\begin{align*} \vec a\cdot\vec b &= a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\ldots+a_nb_n \\ &= \sum_{i=1}^na_ib_i \\ \end{align*}$$

继续扩展，如果 $a$ 是一个函数 $f(x)$，$b$ 是一个函数 $g(x)$，且在区间 [$x_0$,$x_1$] 上有定义，如果在区间 [$x_0$,$x_1$] 上一一对应地将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的值相乘，最后将所有乘积相加，因为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是连续函数，所以加和就是在 [$x_0$,$x_1$] 取积分，若积分等于0：

$$\begin{align*} \int_{x_0}^{x_1}f(x)g(x) \,{\rm d}x = 0 \end{align*}$$

那么函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 [$x_0$,$x_1$] 正交。

三角函数的正交性是说从上面的三角函数系中，任取两个不同的函数相乘，然后在 $[-\pi,\pi]$ 积分，结果等于0：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx \,{\rm d}x = 0 \quad n = m \end{align*}$$ $$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx \,{\rm d}x = 0 \quad n \neq m \end{align*}$$ $$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx \,{\rm d}x = 0 \quad n \neq m \end{align*}$$ $$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx \,{\rm d}x = 0 \quad n \neq m \end{align*}$$

若三角函数系中相同的两个函数相乘，然后在 $[-\pi,\pi]$ 积分，结果等于 $\pi$ ：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx \,{\rm d}x = \pi \quad n = m \end{align*}$$ $$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx \,{\rm d}x = \pi \quad n = m \end{align*}$$

下面来证明一下，若$\,n \neq m$ ：

根据积化和差公式：$\sin nx\cos mx = \frac{1}{2}[\sin (n+m)x + \sin (n-m)x]$

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx \,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2} [\sin (n+m)x + \sin (n-m)x] \,{\rm d}x \\ &= \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\sin (n+m)x \,{\rm d}x}_0 + \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\sin (n-m)x \,{\rm d}x}_0 \\ &= 0 \end{align*}$$

根据积化和差公式：$\sin nx\sin mx = -\frac{1}{2}[\cos (n+m)x - \cos (n-m)x]$

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx \,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{2} [\cos (n+m)x - \cos (n-m)x] \,{\rm d}x \\ &= -\frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n+m)x \,{\rm d}x}_0 + \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n-m)x \,{\rm d}x}_0 \\ &= 0 \end{align*}$$

根据积化和差公式：$\cos nx\cos mx = \frac{1}{2}[\cos (n+m)x + \cos (n-m)x]$

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx \,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2} [\cos (n+m)x + \cos (n-m)x] \,{\rm d}x \\ &= \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n+m)x \,{\rm d}x}_0 + \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n-m)x \,{\rm d}x}_0 \\ &= 0 \end{align*}$$

若$\,n = m$ ：

根据积化和差公式：$\sin nx\cos mx = \frac{1}{2}[\sin 2mx]$

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx \,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2} [\sin 2mx] \,{\rm d}x \\ &= \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\sin 2mx \,{\rm d}x}_0 \\ &= 0 \end{align*}$$

根据积化和差公式：$\sin nx\sin mx = -\frac{1}{2}[\cos 2mx - 1]$

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx \,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{2}[\cos 2mx - 1] \,{\rm d}x \\ &= -\frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos 2mx \,{\rm d}x}_0 + \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}1 \,{\rm d}x}_{2\pi} \\ &= \pi \end{align*}$$

根据积化和差公式：$\cos nx\cos mx = \frac{1}{2}[\cos 2mx + 1]$

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx \,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}[\cos 2mx + 1] \,{\rm d}x \\ &= \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos 2mx \,{\rm d}x}_0 + \frac{1}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}1 \,{\rm d}x}_{2\pi} \\ &= \pi \end{align*}$$

周期为$\,2\pi\,$的函数展开为傅里叶级数

一个周期为$\,2\pi\,$的函数，$T = 2\pi$，$f(x) = f(x+2\pi)$，可以展开为三角级数，也就是一系列三角函数的加和：

$$\begin{align*} f(x) &= \sum_{n=0}^\infty a_n \cos nx + \sum_{n=0}^\infty b_n \sin nx \\ &= a_0\underbrace{\cos 0x}_1 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx + b_0\underbrace{\sin 0x}_0 + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \\ &= a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \tag{1}\label{eq1} \end{align*}$$

第一步：求$\,a_0\,$

对等式左右两边每一项在 $[-\pi,\pi]$ 积分：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}a_0\,{\rm d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx\,{\rm d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\,{\rm d}x \\ &= \int_{-\pi}^{\pi}a_0\,{\rm d}x + \sum_{n=1}^\infty a_n \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\,{\rm d}x}_0 + \sum_{n=1}^\infty b_n \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\,{\rm d}x}_0 \\ &= a_0\int_{-\pi}^{\pi}1\,{\rm d}x \\ &= a_0x\Big|_{-\pi}^{\pi} \\ &= 2\pi a_0 \\ \end{align*}$$

求出$\,\eqref{eq1}\,$中的$\,a_0\,$:

$$\begin{align*} a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,{\rm d}x \end{align*}$$

如果我们把$\,a_0\,$放大2倍（但仍然用$\,a_0\,$表示）：

$$\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,{\rm d}x \end{align*}$$

代入$\,\eqref{eq1}\,$中，就需要缩小2倍：

$$\begin{align*} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \tag{2}\label{eq2} \end{align*}$$

Note

• $\eqref{eq2}\,$就是很多教科书上给出的公式了，将$\,a_0\,$换为$\,\frac{a_0}{2}\,$似乎显得没有必要，其实这样做是为了和后面的$\,a_n\,$和$\,b_n\,$的格式统一，下面我们求出$\,a_n\,$和$\,b_n\,$就知道这样做的好处了。

第二步：求$\,a_n\,$

对 $\,\eqref{eq2}\,$ 左右两边每一项乘以$\,\cos mx\,$，$m\,$为定值，任取 $\,0,1,2\ldots\,$，然后在 $[-\pi,\pi]$ 积分：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos mx\,{\rm d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx\cos mx\,{\rm d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\cos mx\,{\rm d}x \\ &= \frac{a_0}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\,{\rm d}x}_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\cos mx\,{\rm d}x + \sum_{n=1}^\infty b_n \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\cos mx\,{\rm d}x}_0 \end{align*}$$

由前面三角函数系的正交性可以知道式子右边第1项和第3项都为0，只剩下第2项：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,{\rm d}x &= \sum_{n=1}^\infty a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\cos mx\,{\rm d}x \\ \end{align*}$$

分析一下，第2项中存在$\,n = m\,$ 和 $\,n \neq m\,$两种情况，由前面三角函数系的正交性可以知道所有$\,n \neq m\,$的项都为0，所以只剩下$\,n = m\,$的那一项留下来了，上面的式子中的加和只剩下了一项：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,{\rm d}x &=a_n \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos nx\,{\rm d}x}_\pi \\ \end{align*}$$

求出$\,a_n\,$:

$$\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,{\rm d}x \\ \end{align*}$$

第三步：求$\,b_n\,$

对 $\,\eqref{eq2}\,$ 左右两边每一项乘以$\,\sin mx\,$，$m\,$为定值,任取 $1,2,3\ldots\,$，然后在 $[-\pi,\pi]$ 积分：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,{\rm d}x &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\sin mx\,{\rm d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx\sin mx\,{\rm d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\sin mx\,{\rm d}x \\ &= \frac{a_0}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\,{\rm d}x}_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\sin mx\,{\rm d}x}_0 + \sum_{n=1}^\infty b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\sin mx\,{\rm d}x \end{align*}$$

由前面三角函数系的正交性可以知道式子右边第1项和第2项都为0，只剩下第3项：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,{\rm d}x &= \sum_{n=1}^\infty b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\sin mx\,{\rm d}x \\ \end{align*}$$

同样，第3项中存在$\,n = m\,$ 和 $\,n \neq m\,$两种情况，由前面三角函数系的正交性可以知道所有$\,n \neq m\,$的项都为0，所以只剩下$\,n = m\,$的那一项留下来了，上面的式子中的加和只剩下了一项：

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,{\rm d}x &=b_n \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin nx\,{\rm d}x}_\pi \\ \end{align*}$$

求出$\,b_n\,$:

$$\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,{\rm d}x \\ \end{align*}$$

好了，到此为止我们就求出了$\,\eqref{eq2}\,$中的$\,a_0\,$，$a_n\,$，$b_n\,$，这样就得出了一个周期为$\,2\pi\,$的函数的傅里叶级展开：

$T = 2\pi$，$f(x) = f(x+2\pi)$

$$\begin{align*} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos nx + b_n \sin nx] \end{align*}$$

其中：

$$\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,{\rm d}x \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,{\rm d}x \\ b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,{\rm d}x \\ \end{align*}$$

现在能发现为什么第一步求$\,a_0\,$时最后将$\,a_0\,$换为$\,\frac{a_0}{2}\,$了。

周期为$\,2L\,$的函数展开为傅里叶级数

下面讨论周期不是$\,2\pi\,$而是其他任意值的函数的傅里叶级数展开